Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y={{x}^{2}}\) và đường thẳng

Câu hỏi số 272810:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y=2\left( m-1 \right)x+m+1\) (với \(m\) là tham số).

a) Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\)

b) Tìm các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0\).

A. b) \(m=2;m=\frac{17}{3}\)

B. b) \(m=3;m=\frac{17}{3}\)

C. b) \(m=2;m=\frac{7}{3}\)

D. b) \(m=-2;m=\frac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272810

Phương pháp giải

a) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\) khi phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình hoành độ giao điểm: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình.

\({{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0\) (1)

Xét \(\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -\left( m+1 \right) \right)={{m}^{2}}-2m+1+m+1={{m}^{2}}-m+2={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0\ \left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\). Suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=2\left( m-1 \right) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\left( m+1 \right) \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0\). Xét hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\
{x_1} + 3{x_2} = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\left( {m - 1} \right) - {x_2}\\
2{x_2} = 8 - 2\left( {m - 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3m - 7\\
{x_2} = 5 - m
\end{array} \right.\)

Mà có: \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {3m - 7} \right)\left( { - m + 5} \right) = - m - 1\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 22m - 35 = - m - 1\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 23m - 34 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 17} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{{17}}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=2;m=\frac{17}{3}\) là các giá trị của cần tìm của \(m\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link