Một bảng hình vuông gồm n hàng và n cột (n nguyên dương). Các hàng và cột đánh số từ 1 đến
Một bảng hình vuông gồm n hàng và n cột (n nguyên dương). Các hàng và cột đánh số từ 1 đến n (từ trên xuống dưới, từ trái sang phải). Ô vuông nằm trên hàng i, cột j \(\left( {i;j = 1;2;3;...;n} \right)\) của bảng gọi là ô \(\left( {i;j} \right)\). Tại mỗi ô của bảng điền một số 0 hoặc 1 sao cho nếu ô \(\left( {i;j} \right)\) điền số 0 thì: \({a_i} + {b_j} \ge n\) , trong đó \({a_i}\) là số số 1 trên hàng i và \({b_j}\) là số số 1 trên cột j. Gọi P là tổng các số trong các ô của bảng hình vuông đã cho.
a) Xây dựng 1 bảng hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp \(n = 4\) và \(P = 8\).
b) Chứng minh rằng \(P \ge \left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right]\) , với \(\left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right]\) là phần nguyên của \(\frac{{{n^2}}}{2}\).
Quảng cáo
a) Xây dựng 1 bảng hình vuông thỏa mãn yêu cầu với n = 4 và P = 8.
Ta có: 1 bảng thỏa mãn bài toán là
b) Chứng minh rằng: \(P \ge \left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right];\left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right]\) là phần nguyên của \(\frac{{{n^2}}}{2}\).
Không mất tính tổng quát, gọi cột hoặc hàng có ít số 1 nhất là cột 1.
Giả sử trong cột 1 này có k số 1 \(\left( {k \le n} \right)\).
Gọi hàng i là hàng loại 1 nếu \(\left( {i;1} \right) = 1\).
Gọi hàng j là hàng loại 0 nếu \(\left( {j;1} \right) = 1\).
Vậy có k hàng loại 1 và n – k hàng loại 0.
Khi đó tổng các số ở hàng loại 1 \( \ge k\) và loại 0 \( \ge n - k\).
Như vậy: \(P \ge {k^2} + {\left( {n - k} \right)^2}\). Áp dụng BĐT Cô Si ta có: \(P \ge {k^2} + {\left( {n - k} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {k + n - k} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{n^2}}}{2} \ge \left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right].\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
