Cho hình thoi ABCD \(\left( {AC > BD} \right)\). Đường tròn nội tiếp \(\left( O \right)\) của tứ giác
Cho hình thoi ABCD \(\left( {AC > BD} \right)\). Đường tròn nội tiếp \(\left( O \right)\) của tứ giác ABCD theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh \(AB;\,\,BC;\,\,CD;\,\,DA\) lần lượt tại \(E;\,\,F;\,\,G;\,\,H\). Xét K trên đoạn HA và L trên đoạn AE sao cho KL tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Chứng minh rằng: \(\widehat {LOK} = \widehat {LBO}\) và \(BL.DK = O{B^2}.\)
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt AB tại M khác L và đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt AD tại N khác K. Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N nằm trên một đường tròn.
c) Lấy các điểm P, Q tương ứng trên FC, CG sao cho LP song song với KQ. Chứng minh rằng KQ tiếp xúc với \(\left( O \right)\).
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng: \(\widehat {LOK} = \widehat {LBO}\) và \(BL.DK = O{B^2}.\)
Gọi điểm tiếp xúc của LK với (O) là T.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {LOK} = \widehat {LOT} + \widehat {TOK} = \frac{{\widehat {TOE}}}{2} + \frac{{\widehat {TDH}}}{2} = \frac{{\widehat {EOH}}}{2} = {90^0} - \widehat {EOB} = \widehat {LBO}\\\widehat {OLK} = \widehat {OLB}\end{array}\)
(Do LB, LK là các tiếp tuyến).
Khi đó: tam giác OLK và BLO đồng dạng.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta OLK \sim \Delta DOK\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \Delta DOK \sim \Delta BLO\\ \Rightarrow \frac{{OD}}{{BL}} = \frac{{DK}}{{BO}} \Rightarrow BL.DK = BO.DO = O{B^2}.\end{array}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt AB tại M khác L và đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt AD tại N khác K. Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N nằm trên một đường tròn.
Ta có: Do CFML nội tiếp nên: \(BM.BL = BC.BF = B{O^2} = BL.DK \Rightarrow BM = DK.\)
Do vậy BMDK là hình thang cân nên KM // BD.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: LN // BD.
Do vậy KMLN là hình thang cân nên hiển nhiên nội tiếp 1 đường tròn.
Ta có điều phải chứng minh.
c) Lấy các điểm P, Q tương ứng trên FC, CG sao cho LP song song với KQ. Chứng minh rằng KQ tiếp xúc với \(\left( O \right)\).
Ta có:
Kẻ PQ’ tiếp xúc với (O) và Q’ thuộc CD.
Tương tự phần a, chứng minh như vậy ta suy ra:
\(\begin{array}{l}BP.DQ' = O{B^2} = BL.DK \Rightarrow \frac{{BP}}{{BL}} = \frac{{DK}}{{DQ'}}\\\widehat {LBP} = \widehat {KDQ'}\\ \Rightarrow \Delta BLP \sim \Delta DQ'K\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {BLP} = \widehat {DQ'K}\\ \Rightarrow AB//CD \Rightarrow LP//KQ' \Rightarrow Q \equiv Q'\end{array}\)
Vậy KQ tiếp xúc với (O).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
