a) Giải phương trình: \(2\left[ \left( 1-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}+x \right]={{x}^{2}}-1.\) b) Giải hệ

Câu hỏi số 273211:

Vận dụng

a) Giải phương trình: \(2\left[ \left( 1-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}+x \right]={{x}^{2}}-1.\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & x-3y-2+\sqrt{y\left( x-y-1 \right)+x}=0 \\ & 3\sqrt{8-x}-\frac{4y}{\sqrt{y+1}+1}={{x}^{2}}-14y-8 \\ \end{align} \right..\)

A. a) \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 6 ;\,\, - 1 - \sqrt 6 } \right\}.\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {7;\;3} \right).\)

B. a) \(S = \left\{ { 1 + \sqrt 6 ;\,\, 1 - \sqrt 6 } \right\}.\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {7;\;2} \right).\)

C. a) \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 6 } \right\}.\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;3} \right).\)

D. a) \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 6} \right\}.\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {6;\;3} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273211

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+) Giải phương trình bằng các phép biến đổi tương đương.

b) Biến đổi từng phương trình sau đó giải hệ phương trình bằng cách xét các trường hợp.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \({{x}^{2}}+2x-1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>-1+\sqrt{2} \\ & x<-1-\sqrt{2} \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}
Pt \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} + 2x = {x^2} - 1\\
\Leftrightarrow - 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - {x^2} + 2x + 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} - 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} + {x^2} + 2x - 1 = {x^2} + 2x + 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} } \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} = x + 1\\
1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - x - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2x = \sqrt {{x^2} + 2x - 1} \\
\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
4{x^2} = {x^2} + 2x - 1
\end{array} \right.\\
{x^2} + 2x - 1 = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3{x^2} - 2x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
{x^2} + 2x - 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
VN
\end{array} \right.\\
x = - 1 + \sqrt 6 \,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = - 1 - \sqrt 6 \,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 6 \\
x = - 1 - \sqrt 6
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm : \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 6 ;\,\, - 1 - \sqrt 6 } \right\}.\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\\8 - x \ge 0\\y + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\y \ge - 1\\y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 2 + \sqrt {y\left( {x - y - 1} \right) + x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3\sqrt {8 - x} - \frac{{4y}}{{\sqrt {y + 1} + 1}} = {x^2} - 14y - 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {y\left( {x - y - 1} \right) + x} = - \left( {x - 3y - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {xy - {y^2} - y + x} = - \left( {x - 3y - 2} \right)\\ \Leftrightarrow - \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)} = x - 3y - 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {x - y} \right) + k\left( {y + 1} \right) = x - 3y - 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow tx + \left( {k - t} \right)y + k = x - 3y - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\k - t = - 3\\k = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\k = - 2\end{array} \right..\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)} = \left( {x - y} \right) - 2\left( {y + 1} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {x - y} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)} = 0.\;\;\;\;\left( {**} \right)\end{array}\)

+) TH1: \(y = - 1 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = - 1.\)

Khi đó: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {8 + 1} - \frac{{4.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {\left( { - 1} \right) + 1} + 1}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 14.\left( { - 1} \right) - 8\)

\( \Leftrightarrow 3.3 + 4 = 7\;\;\) (vô lý)

+) TH2: \(y > - 1,\) chia cả hai vế của phương trình (**) cho \(y + 1\) ta được:

\(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x - y}}{{y + 1}}} \right)^2} - 2 + \sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(\sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^4} + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + {t^2} + t + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t \approx - 1,35\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}} = 1 \Leftrightarrow x - y = y + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\y \ge - 1\\x = 2y + 1\\y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 1 \le 8\\y \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge - 1\\y \le \frac{7}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {8 - 2y - 1} - \frac{{4y}}{{\sqrt {y + 1} + 1}} = {\left( {2y + 1} \right)^2} - 14y - 8\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y} - \frac{{4y}}{{\frac{{y + 1 - 1}}{{\sqrt {y + 1} - 1}}}} = 4{y^2} + 4y + 1 - 14y - 8\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y} - 4\left( {\sqrt {y + 1} - 1} \right) = 4{y^2} - 10y - 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y} - 4\sqrt {y + 1} + 4 = 4{y^2} - 10y - 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y} - 4\sqrt {y + 1} = 4{y^2} - 10y - 11\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 10y - 6 + 4\left( {\sqrt {y + 1} - 2} \right) + 3\left( {1 - \sqrt {7 - 2y} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {2{y^2} - 5y - 3} \right) + \frac{{4\left( {y + 1 - 4} \right)}}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{{3\left( {1 - 7 + 2y} \right)}}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {y - 3} \right)\left( {2y + 1} \right) + \frac{{4\left( {y - 3} \right)}}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{{6\left( {y - 3} \right)}}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right)\left[ {4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }}} \right] = 0\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 3 = 0\\4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(f\left( y \right) = 4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1} - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( y \right) = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt {y + 1} + 2}} - \frac{1}{2} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} - \frac{3}{2}\\ = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{{8 - \sqrt {y + 1} - 2}}{{2\left( {\sqrt {y + 1} + 2} \right)}} + \frac{{12 - 3 - 3\sqrt {7 - 2y} }}{{2\left( {1 + \sqrt {7 - 2y} } \right)}}\\ = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{{6 - \sqrt {y + 1} }}{{2\left( {\sqrt {y + 1} + 2} \right)}} + \frac{{3\left( {3 - \sqrt {7 - 2y} } \right)}}{{2\left( {1 + \sqrt {7 - 2y} } \right)}}\end{array}\)

Vì \( - 1 \le y \le \frac{7}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 \ge 0\\6 - \sqrt {y + 1} > 0\\3 - \sqrt {7 - 2y} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( y \right) > 0\)

\( \Rightarrow f\left( y \right) = 0\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(y = 3 \Rightarrow x = 2.3 + 1 = 7\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {7;\;3} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link