a) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y

Câu hỏi số 273210:

Vận dụng

a) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)}.\)

b) Chứng minh rằng: \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}<2018.\)

A. a) \(P=x+xy-2y.\)

B. a) \(P=x+xy-y.\)

C. a) \(P=2x-xy-y.\)

D. a) \(P=2x+xy-2y.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273210

Phương pháp giải

a) Đặt điều kiện sau đó rút gọn biểu thức bằng các phép biến đổi: đặt nhân tử chung và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

b) Áp dụng kiến thức: Với \(a+b+c=0\) thì ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}.\)

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ne -y,\ \ x\ne -1,\ \ y\ne 1.\)

\(\begin{align} & \,P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}\left( \frac{{{x}^{2}}}{1-y}-\frac{{{y}^{2}}}{1+x} \right)-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-{{y}^{2}}+{{y}^{3}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)+\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{\left( x+y \right)\left( x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( x-y \right)+x\left( x-y \right)+{{y}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( x-y \right)\left( x+1 \right)+{{y}^{2}}\left( 1-x \right)\left( x+1 \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-y+{{y}^{2}}-x{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x\left( 1-{{y}^{2}} \right)-y\left( 1-y \right)}{1-y}=\frac{\left( 1-y \right)\left( x+xy-y \right)}{1-y} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,=x+xy-y. \\ \end{align}\)

b) Chứng minh rằng: \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}<2018\)

Ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+2.\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right)=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2\left( a+b+c \right)}{abc}.\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\) ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\)

Ta có: \(1+1+\left( -2 \right)=0\) nên \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 1+1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=1+\frac{1}{2}.\)

Tương tự ta có:

\(\begin{align} & \sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ & \sqrt{1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ & .................... \\ & .................... \\ & \sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -2018 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}. \\ & \Rightarrow VT=1+1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.........+1+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}=2018-\frac{1}{2018}<2018\,\,\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link