a) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y

Câu hỏi số 273210:

Vận dụng

a) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)}.\)

b) Chứng minh rằng: \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}<2018.\)

A. a) \(P=x+xy-2y.\)

B. a) \(P=x+xy-y.\)

C. a) \(P=2x-xy-y.\)

D. a) \(P=2x+xy-2y.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273210

Phương pháp giải

a) Đặt điều kiện sau đó rút gọn biểu thức bằng các phép biến đổi: đặt nhân tử chung và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

b) Áp dụng kiến thức: Với \(a+b+c=0\) thì ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}.\)

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ne -y,\ \ x\ne -1,\ \ y\ne 1.\)

\(\begin{align} & \,P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}\left( \frac{{{x}^{2}}}{1-y}-\frac{{{y}^{2}}}{1+x} \right)-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-{{y}^{2}}+{{y}^{3}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)+\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{x+y}.\frac{\left( x+y \right)\left( x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x-y+{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( x-y \right)+x\left( x-y \right)+{{y}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( x-y \right)\left( x+1 \right)+{{y}^{2}}\left( 1-x \right)\left( x+1 \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-y+{{y}^{2}}-x{{y}^{2}} \right)}{\left( 1-y \right)\left( 1+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{x\left( 1-{{y}^{2}} \right)-y\left( 1-y \right)}{1-y}=\frac{\left( 1-y \right)\left( x+xy-y \right)}{1-y} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,=x+xy-y. \\ \end{align}\)

b) Chứng minh rằng: \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}<2018\)

Ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+2.\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right)=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2\left( a+b+c \right)}{abc}.\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\) ta có: \({{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\)

Ta có: \(1+1+\left( -2 \right)=0\) nên \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 1+1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=1+\frac{1}{2}.\)

Tương tự ta có:

\(\begin{align} & \sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ & \sqrt{1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ & .................... \\ & .................... \\ & \sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( -2018 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}. \\ & \Rightarrow VT=1+1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.........+1+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}=2018-\frac{1}{2018}<2018\,\,\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link