Tính khoảng cách d ngắn nhất giữa hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x

Câu hỏi số 274319:

Vận dụng cao

Tính khoảng cách d ngắn nhất giữa hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

A. \(d = 3\sqrt 2 \)

B. \(d = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(d = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\)

D. \(d = 2\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:274319

Phương pháp giải

+) Gọi hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số, lưu ý điều kiện nằm ở hai nhánh khác nhau.

+) Tính AB, sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của AB.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\)

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = - 1\), gồm hai nhánh nằm về hai phía đường thẳng \(x = - 1\)

Gọi A là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_A} < - 1 \Rightarrow - 1 - {x_A} > 0\).

Đặt \(a = - 1 - {x_A} > 0 \Rightarrow {x_A} = - 1 - a \Rightarrow A\left( { - 1 - a;2 + \frac{3}{a}} \right)\)

Gọi B là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_B} > - 1 \Rightarrow {x_B} + 1 > 0\)

Đặt \(b = 1 + {x_B} > 0 \Rightarrow {x_B} = - 1 + b \Rightarrow B\left( { - 1 + b;2 - \frac{3}{b}} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{b} + \frac{3}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(A{B^2} \ge \left( {2ab + 2ab} \right).2\sqrt {\frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} = 4ab.2.\frac{3}{{ab}} = 24 \Rightarrow AB \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b > 0\\1 = \frac{3}{{ab}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \)

Vậy \(A{B_{\min }} = 2\sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.