Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 276539:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)

A. 13

B. 15

C. 10

D. 9

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276539

Phương pháp giải

ta xác định điểm rơi của bất đẳng thức là \(x=2,y=3,z=4\) từ đó tách các hệ số sao cho sau khi áp dụng bất đẳng thức Cosi thì đấu bằng xảy ra tại đúng điểm rơi.

Giải chi tiết

Cho các số thực dương \(x,\ y,\ z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)

Ta có: \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}=\frac{1}{4}x+\left( \frac{3}{4}x+\frac{3}{x} \right)+\frac{1}{2}y+\left( \frac{1}{2}y+\frac{9}{2y} \right)+\frac{3}{4}z+\left( \frac{1}{4}z+\frac{4}{z} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có:

\(\begin{align} & +)\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3}{4}x.\frac{3}{x}}=3 \\ & +)\frac{1}{2}y+\frac{9}{2y}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}y.\frac{9}{2y}}=3 \\ & +)\frac{1}{4}z+\frac{4}{z}\ge 2\sqrt{\frac{1}{4}z.\frac{4}{z}}=2 \\\end{align}\)

\(\Rightarrow A\ge \frac{1}{4}\left( x+2y+3z \right)+3+3+2=\frac{20}{4}+3+3+2=13\)

Dấu “=” xảy ra

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{4}x = \frac{3}{x}\\
\frac{1}{2}y = \frac{9}{{2y}}\\
\frac{1}{4}z = \frac{4}{z}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3\\
z = 4
\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link