a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}& xy(x+y)=2 \\ &

Câu hỏi số 276806:

Vận dụng

a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}& xy(x+y)=2 \\ & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+7(x+1)(y+1)=31 \\ \end{align} \right..\)

b) Giải phương trình: \(9+3\sqrt{x(3-2x)}=7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}.\)

A. a) \(\left( x;\ y \right)=\left( 6;\ 1 \right).\)

b) \(S=\left\{ \frac{1}{9};\ \ 1 \right\}.\)

B. a) \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

b) \(S=\left\{ \frac{2}{9};\ \ 1 \right\}.\)

C. a) \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

b) \(S=\left\{ \frac{1}{9};\ \ 1 \right\}.\)

D. a) \(\left( x;\ y \right)=\left( 9;\ 1 \right).\)

b) \(S=\left\{ \frac{1}{2};\ \ 1 \right\}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276806

Phương pháp giải

a) Tiến hành đặt \(a=x+y,\ \ b=xy\) thế vào hệ và giải.

b) Đặt ẩn phụ với: \(a=\sqrt{x};\ \ b=\sqrt{3-2x}.\)

Giải chi tiết

a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & xy(x+y)=2 \\ & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+7(x+1)(y+1)=31 \\\end{align} \right..\)

Ta có hệ phương trình :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy\left( {x + y} \right) = 2\\
\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + {\left( {xy} \right)^3} + 7\left( {x + y + xy + 1} \right) = 31
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy\left( {x + y} \right) = 2\\
\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] + {\left( {xy} \right)^3} + 7\left[ {\left( {x + y} \right) + xy + 1} \right] = 31
\end{array} \right..\)

Đặt \(a=x+y,\ \ b=xy\) thì hệ trên trở thành: \(\left\{ \begin{align} & ab=2 \\ & a\left( {{a}^{2}}-3b \right)+{{b}^{3}}+7\left( a+b+1 \right)=31 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ab = 2\\
{a^3} - 3ab + {b^3} + 7\left( {a + b + 1} \right) = 31
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{{(a + b)}^2} - 3ab} \right) - 3ab + 7\left( {a + b + 1} \right) = 31\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3ab + 7\left( {a + b} \right) - 24 = 0\\
\Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 6\left( {a + b} \right) - 3.2 + 7\left( {a + b} \right) - 24 = 0\\
\Leftrightarrow {(a + b)^3} + (a + b) - 30 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 27 + \left( {a + b} \right) - 3\\
\Leftrightarrow (a + b - 3)\left[ {{{(a + b)}^2} + 3(a + b) + 10} \right] = 0\\
\Rightarrow a + b = 3\;\;\;\left( {do\;\;{{(a + b)}^2} + 3(a + b) + 10 > 0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 3\\
ab = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;{a^2} = {{(x + y)}^2} \ge 4xy = 4b} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
xy = 1
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 1.
\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

b) Giải phương trình: \(9+3\sqrt{x\left( 3-2x \right)}=7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}.\)

Điều kiện xác định: \(0\le x\le \frac{3}{2}.\)

Đặt: \(a=\sqrt{x}\ ;\ \ b=\sqrt{3-2x}\ \ \left( a,\ b\ge 0 \right).\) Khi đó phương trình tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
9 + 3ab = 7a + 5b\\
2{a^2} + {b^2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow 2{a^2} + {b^2} + 6 + 3ab = 7a + 5b\\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 2ab - 4a + ab + {b^2} - 2b - 3a - 3b + 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2a\left( {a + b - 2} \right) + b\left( {a + b - 2} \right) - 3\left( {a + b - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {a + b - 2} \right)\left( {2a + b - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a \Rightarrow 9 + 3a(2 - a) = 2a + 10 \Leftrightarrow \left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}\;\;\left( {tm} \right)\\
a = 1 \Rightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
2a + b = 3 \Rightarrow b = 3 - 2a \Rightarrow 9 + 3a(3 - 2a) = 7a + 5(3 - 2a) \Leftrightarrow {(a - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình trên có tập nghiệm là: \(S=\left\{ \frac{1}{9};\ \ 1 \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link