Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với a,b,c

Câu hỏi số 279366:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) lớn nhất bằng:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. 3

C. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:279366

Phương pháp giải

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) dạng đoạn chắn.

+) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

+) Sử dụng BĐT Buniacopxki tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) nhỏ nhất.

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {3^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.