Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong

Câu hỏi số 282474:

Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Tìm k và số điểm học sinh A đạt được khi đó.

A. 11 câu

2,2 điểm

B. 12 câu

2,4 điểm

C. 13 câu

2,6 điểm

D. 14 câu

2,8 điểm

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282474

Giải chi tiết

*) Ta sẽ cần tính xác suất để bạn A làm được :

+) Đúng k câu trên 50 câu.

+) Sai \(\left( {50 - k} \right)\) câu còn lại.

*) A làm đúng k câu, số cách chọn k câu trong 50 câu là \(C_{50}^k\)

Xác suất đúng 1 câu là \(\frac{1}{4}\), xác suất sai 1 câu là \(\frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \) Xác suất đúng k câu là \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}\), xác suất sai \(\left( {50 - k} \right)\) câu là \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\)

Vậy xác suất để bạn A đúng k câu là: \({P_k} = C_{50}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\)

Xét

\(\begin{gathered} \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} = \frac{{C_{50}^{k + 1}{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{k + 1}}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{50 - \left( {k + 1} \right)}}}}{{C_{50}^k{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^k}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{50 - k}}}} \hfill \\ = \frac{{\frac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.\frac{1}{4}}}{{\frac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}}.\frac{3}{4}}} \hfill \\ = \frac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.\frac{1}{4}.\frac{{k!\left( {50 - k} \right)!}}{{50!}}.\frac{4}{3} \hfill \\ = \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Ta có:

\(\begin{gathered} \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} > 1 \Leftrightarrow 50 - k > 3k + 3 \Leftrightarrow k < \frac{{47}}{4} = 11,75 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;11} \right\} \hfill \\ \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} < 1 \Leftrightarrow 50 - k < 3k + 3 \Leftrightarrow k > \frac{{47}}{4} = 11,75 \Rightarrow k \in \left\{ {12;13;...;49} \right\} \hfill \\ k = 1 \Rightarrow {P_2} > {P_1} \hfill \\ k = 2 \Rightarrow {P_3} > {P_2} \hfill \\ .... \hfill \\ k = 11 \Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} \hfill \\ k = 12 \Rightarrow {P_{13}} < {P_{12}} \hfill \\ ... \hfill \\ k = 49 \Rightarrow {P_{50}} < {P_{49}} \hfill \\ \Rightarrow {P_{11}} > {P_{10}} > ... > {P_1} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,{P_{12}} > {P_{13}} < ... > {P_{50}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Vì xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất nên \(\left[ \begin{gathered} k = 11 \hfill \\ k = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Ta có: \(\frac{{{P_{12}}}}{{{P_{11}}}} > 1 \Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} \Rightarrow k = 12\) thỏa mãn.

Vậy khi đó An làm đúng 12 câu và sai 38 câu, số điểm của An là \(12.0,2 = 2,4\) điểm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.