Cho biểu thức \(P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) =

Câu hỏi số 284772:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). Tìm giá trị nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\)

A. \(x = 4\)

B. \(x = 5\)

C. Không tồn tại x thỏa mãn.

D. \(\forall x > 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284772

Phương pháp giải

Rút gọn \(P\left( x \right)\), sau đó giải bất phương trình \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {3 + \sqrt x } \right)}}\\P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{1 + \left( {3 - \sqrt x } \right)\sqrt x }}{x} = \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}\end{array}\)

\(Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

Suy ra :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 6\sqrt x + 2 \le x + \sqrt x \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 5\sqrt x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3\sqrt x + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 \ge 0\,\,\,\left( {Do\,\,3\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x \ge 4\end{array}\)

Suy ra số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \(x = 4\).

Vậy \(x = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link