Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{1 + yz}} +

Câu hỏi số 285650:

Vận dụng cao

Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285650

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề: \(x + y + z \le xyz + 2\) để chứng minh bắt đẳng thức.

Giải chi tiết

Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)

Ta chứng minh bổ đề: \(x + y + z \le xyz + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow xyz - x - y - z + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow xyz - yz - x + 1 + yz - y - z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow yz\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) + y\left( {z - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {yz - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - yz} \right) + \left( {1 - z} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0\,\,\,\,\forall \,0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1.\end{array}\)

Với mọi \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le \frac{x}{{1 + xyz}} + \frac{y}{{1 + xyz}} + \frac{z}{{1 + xyz}}\\ \Leftrightarrow VT \le \frac{{x + y + z}}{{1 + xyz}} \le \frac{{2 + xyz}}{{1 + xyz}} = 2.\\ \Leftrightarrow VT \le 2.\end{array}\)

Vậy \(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} < 2.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link