Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(m\,{\cos ^2}x\,\, - 4\,\sin x.\cos x\, + \,\,m -

Câu hỏi số 285918:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(m\,{\cos ^2}x\,\, - 4\,\sin x.\cos x\, + \,\,m - 2\,\, = \,\,0\) có nghiệm thuộc\(x\, \in \,\left( {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right)\)

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285918

Phương pháp giải

- Đưa về phương trình bậc hai của \(\tan x\)và biện luận nghiệm.

Giải chi tiết

Với \(x\, \in \,\left( {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow \,\,\cos x\,\, \ne \,0\).

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\,\, \ne \,\,0\) ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m - 4\tan x\,\, + \,\,\,(m - 2)\,\,(1 + {\tan ^2}x)\,\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(m - 2){\tan ^2}x\,\, - 4\,\tan x\,\, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,(2)\,\end{array}\)

Đặt \(t\,\, = \,\tan \,x\) vì \(x\, \in \,\left( {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right)\) nên \(t\, \in \left( {\,0\,;\,\,1} \right)\) ta được: \(\,\,\left( {m - 2} \right){t^2}\,\, - 4\,t\, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Khi đó phương trình ban đầu có nghiệm \(x\, \in \,\left( {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có nghiệm \(t\, \in \left( {0\,;\,\,1} \right)\)

Với \(m - 2 = \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,m\,\, = \,2.\) Khi đó \(\left( 3 \right)\) có dạng \( - 4t\,\, + 2\, = 0\, \Leftrightarrow \,\,\,t = \frac{1}{2}\,\,\, \in \left( {0;\,\,1} \right)\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn đề bài

+) Với \(m - 2 \ne \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,m\,\, \ne \,2\) khi đó \(\left( 3 \right)\) có nghiệm \(t\, \in \left( {\,0\,;\,\,1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có 1 nghiệm \( \in \left( {0\,;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \in \left( {0\,;\,\,1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right).f\left( 1 \right)\,\, < \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta '\,\, \ge \,0\\
0 < {x_1} \le {x_2} < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
{x_1}{x_2} > 0\\
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\
0 < {x_1} + {x_2} < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
{x_1}{x_2} > 0\\
{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\
0 < {x_1} + {x_2} < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2 - 4 + 2m - 2} \right) < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
4 - \left( {m - 2} \right)\left( {2m - 2} \right) \ge 0\\
\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} > 0\\
\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} - \frac{4}{{m - 2}} + 1 > 0\\
0 < \frac{4}{{m - 2}} < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {2m - 2} \right)\left( {3m - 8} \right) < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
4 - \left( {2{m^2} - 6m + 4} \right) \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.\\
\frac{{2m - 2 - 4 + m - 2}}{{m - 2}} > 0\\
m - 2 > 0\\
\frac{4}{{m - 2}} - 2 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < m < \frac{8}{3}\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} - 6m \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.\\
\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} > 0\\
m > 2\\
\frac{{8 - 2m}}{{m - 2}} < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < m < \frac{8}{3}\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 \le m \le 3\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{8}{3}\\
m < 2
\end{array} \right.\\
m > 2\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.1 < m < \frac{8}{3}.
\end{array}\)

Vậy với \(1 < m < \,\,\frac{8}{3}\) phương trình có nghiệm \(x\, \in \,\left( {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right)\).

Vậy \(m = 2\) là giá trị nguyên duy nhất thõa mãn.

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.