Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE

Câu hỏi số 286571:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286571

Phương pháp giải

a) Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung của đường tròn và định lý Pitago để tính

b) Chứng minh \(\angle OHA = \angle OEA = {90^o}\) để suy ra điều phải chứng minh

c) Chứng minh 3 góc tạo bởi đỉnh O là các góc EOA, AOB, BOF bù nhau thì E, O, F sẽ thẳng hàng. Chứng minh \(\Delta AOE\) và \(\Delta OBF\) đồng dạng, từ đó suy ra \(BF.AE = {R^2}\)

Giải chi tiết

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

Theo đề bài ta có: \(EH \bot OA\) tại M nên M là trung điểm của EH hay \(EH = 2EM\) (định lý mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OME có:

\(EM = \sqrt {O{E^2} - O{M^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Vậy \(EH = 2EM = 8\,\,(cm)\)

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot EH\\ME = MH\end{array} \right. \Rightarrow \) OA là đường trung trực của EH \( \Rightarrow AE = AH\)

Xét hai tam giác OEA và tam giác OHA có:

\(OE = OH\,\,( = R);\,\,\,AE = AH;\,\,OA\) chung

\( \Rightarrow \Delta OEA = \Delta OHA\) (c.c.c) \( \Rightarrow \angle OHA = \angle OEA = {90^o}\) hay \(AH \bot OH\)

Vậy AH là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

Có \(AH \bot OH\;\;\left( {cmt} \right)\) hay B là giao của hai tiếp tuyến BH; BF

\( \Rightarrow \angle BOF = \angle BOH\), lại có \(\angle EOA = \angle HOA\)

\( \Rightarrow \angle EOA + \angle AOB + \angle BOF = 2\left( {\angle AOH + \angle BOH} \right) = 2\angle AOB = {180^o}\)

\( \Rightarrow \) E, O, F thẳng hàng. (đpcm)

Có \(\angle EOA + \angle BOF = {180^o} - \angle AOB = {90^o} \Rightarrow \angle OAE = \angle BOF\) (cùng phụ \(\angle AOE\))

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta OBF\) có: \(\angle OAE = \angle BOF\); \(\angle AEO = \angle BFO = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AOE \sim \Delta OBF\;\left( {g - g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{OF}} = \frac{{OE}}{{BF}} \Rightarrow AE.BF = OE.OF = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Có \(BF//AQ\) (do cùng vuông góc với EF) \( \Rightarrow \frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{AQ}}{{DQ}}\) (định lý Talet) (*)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta COD\) vuông tại O. Gọi K là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 qua I với \(\left( O \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD đường cao DK ta có: \(O{K^2} = DK.CK\)

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại D nên \(DE = DK\)

Tương tự \(CK = CF \Rightarrow O{K^2} = CF.DE \Leftrightarrow CF.DE = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(CF.DE = AE.BF \Leftrightarrow \frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{DE}}{{AE}}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\frac{{AQ}}{{DQ}} = \frac{{DE}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{{AQ}}{{AQ - DQ}} = \frac{{DE}}{{DE - AE}} \Leftrightarrow \frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{{DE}}{{AD}} \Leftrightarrow AQ = DE\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link