Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos

Câu hỏi số 287907:

Vận dụng

Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\). Giá trị của S là:

A. \(S = 0\).

B. \(S = \frac{{5\pi }}{3}\).

C. \(S = 2\pi \).

D. \(S = 4\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287907

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) và công thức nhân đôi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow - \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 7\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 3\,(vo\,nghiem)\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

+)\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)

\( \Rightarrow - \pi < \frac{\pi }{6} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{5}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1;0} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right\}\)

+)\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)

\( \Rightarrow - \pi < - \frac{\pi }{6} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 5}}{6} < k < \frac{7}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}\)

Tổng các nghiệm của phương trình là: \(S = - \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.