Giải các phương trình sau: a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4}

Câu hỏi số 289288:

Vận dụng cao

Giải các phương trình sau:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 24\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x} - x - 1 + \dfrac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = 0\)

c) \(\left( {\sqrt {3x + 4} - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right) = 2\)

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,S = \left\{ {0; - 5} \right\}\\
b)\,\,S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 5 } \right\}\\
c)\,\,S = \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,S = \left\{ {0; - 5} \right\}\\
b)\,\,S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 5 } \right\}\\
c)\,\,S = \left\{ { \pm \frac{1}{3}} \right\}
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,S = \left\{ {0; - 5} \right\}\\
b)\,\,S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 5 } \right\}\\
c)\,\,S = \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,S = \left\{ {0;5} \right\}\\
b)\,\,S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 5 } \right\}\\
c)\,\,S = \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}
\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:289288

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 24\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 24\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 24\end{array}\)

Đặt \({x^2} + 5x + 5 = t\), khi đó phương trình trở thành \(\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 24\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 24 \Leftrightarrow {t^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 5 = - 5\\{x^2} + 5x + 5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 10 = 0\,\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\{x^2} + 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0; - 5} \right\}\).

\(b)\,\,\sqrt {{x^2} + 2x} - x - 1 + \dfrac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = 0\)

Điều kiện \({x^2} + 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 2\end{array} \right.\).

Ta có:\(\sqrt {{x^2} + 2x} - x - 1 + \dfrac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x} + 2x - 2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x} \ge 0\), khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {x + 1} \right)t + 2x - 2 = 0\) (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn t tham số x có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {2x - 2} \right) = {x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x + 1 - \left( {x - 3} \right)}}{2} = 2\\t = \dfrac{{x + 1 + \left( {x - 3} \right)}}{2} = x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {{x^2} + 2x} = x - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1): \(\sqrt {{x^2} + 2x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 5 \,\,\,\left( {tm} \right)\)

Giải (2): \(\sqrt {{x^2} + 2x} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 5 ; - 1 + \sqrt 5 } \right\}\)

\(c)\,\,\left( {\sqrt {3x + 4} - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right) = 2\).

Điều kiện \(x \ge \dfrac{{ - 2}}{3}\).

Với \(x \ge \dfrac{{ - 2}}{3}\) thì \(\sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} \ne 0\).

Nhân cả tử và mẫu của VT với \(\sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {3x + 4} - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right) = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3x + 4} - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right)}}{{\sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} }} = 2 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {\left( {3x + 4} \right)\left( {3x + 2} \right)} = \sqrt {3x + 4} + \sqrt {3x + 2} \\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 - \sqrt {3x + 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x + 2} = 1\\\sqrt {3x + 4} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \dfrac{1}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link