Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của

Câu hỏi số 289478:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

a) Chứng minh: \(Ax//By\).

b) Trên \(\left( {O;R} \right)\) lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

c) Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:289478

Phương pháp giải

a) Dựa vào tính chất tiếp tuyến trong đường tròn để chứng minh AD và BE cùng vuông góc với AB.

b) Dựa vào điều đã có sẵn: \(DE = MD + ME\), dựa vào tính chất tiếp tuyến để chứng minh\(MD = DA,ME = EB\).

c) Chứng minh tứ giác MCOF là hình chữ nhật, từ đó suy ra \(\angle DOE = {90^o}\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để có được đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(Ax//By\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có \(Ax\) là tiếp tuyến với A là tiếp điểm.

\( \Rightarrow Ax \bot OA\)(tính chất tiếp tuyến)\( \Rightarrow Ax \bot AB\) (do OA nằm trên AB)\(\)

Chứng minh tương tự có \(By \bot AB\)

Suy ra \(Ax//By\) (do cùng vuông góc với AB) (đpcm).\(\)

b) Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có DM, AD là tiếp tuyến với A, M là tiếp điểm

\( \Rightarrow AD = DM\)(tính chất tiếp tuyến) (1)

Tương tự ta có: \(ME = BE\) (2)

Vì M nằm trên đoạn DE nên ta có: \(DE = DM + ME\) (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra\(DE = DA + BE\) (đpcm).

c) Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

+) Chứng minh \(\angle DOE = {90^o}\)

Có: \(DM = DA\)(cmt), suy ra D cách đều A và M, suy ra D nằm trên đường trung trực của AM

Mà có: \(OA = OM\) (cùng là bán kính) suy ra O cách đều A và M, suy ra O nằm trên trung trực của AM

Suy ra OD là trung trực của AM, suy ra \(OD \bot AM.\)

Chứng minh tương tự có \(OE \bot MB.\)

Xét tứ giác MCOF có:

+) \(\angle MCO = {90^o}\) (do \(OD \bot AM\))

+) \(\angle MFO = {90^o}\)(do \(OE \bot MB\))

+) \(\angle CMF = {90^o}\)(do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra MCOF là hình chữ nhật (dhnb), suy ra \(\angle DOE = {90^o}\). (đpcm)

+) Chứng minh \(DA.BE = {R^2}\).

Xét tam giác DOE vuông tại O có: OM là đường cao (do DE là tiếp tuyến nên OM vuông góc với DE )

\( \Rightarrow ME.MD = O{M^2}\)

Mà có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = MD\\BE = ME\end{array} \right.\) (cmt)

Suy ra \(DA.BE = {R^2}\) (đpcm).\(\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link