Tổng các nghiệm dương của phương trình \((1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x\) bé hơn 10 mà \(\sin

Câu hỏi số 290128:

Vận dụng

Tổng các nghiệm dương của phương trình \((1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x\) bé hơn 10 mà \(\sin x > 0\) là?

A. \(4\pi \)

B. \(\frac{{9\pi }}{2}\)

C. \(\frac{{7\pi }}{2}\)

D. \(2\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290128

Phương pháp giải

+) Biến đổi \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\), chuyển về phương trình tích

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;(1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right){\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right){\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left[ {\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\2x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm đều thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm nhỏ hơn 10 và \(\sin x > 0\) là:

\(\begin{array}{l} + )\;\left\{ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{4} + k\pi < 10\\\sin \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4} < k < 3,43\\\sin \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\;3} \right\}\\ + )\;\left\{ \begin{array}{l}0 < m\pi < 10\\\sin \left( {m\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3,18\\{\mathop{\rm sinm}\nolimits} \pi > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\)

Tổng các nghiệm thõa mãn: \(\left( { - \frac{\pi }{4} + \pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{4} + 3\pi } \right) = \frac{{7\pi }}{2}\)\(\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.