Phương trình \(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin x}} = \tan x - \cot x\) có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 290135:

Vận dụng cao

Phương trình \(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin x}} = \tan x - \cot x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) ?

A. 2570

B. 4036

C. 3210

D. 2760

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290135

Phương pháp giải

+) Biến đổi tanx, cotx theo sinx, cosx

+) Dùng công thức nhân đôi và cộng cung để thu gọn phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin x}} = \tan x - \cot x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - x} \right) = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \cos x = - \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\pi - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \pi - x + k2\pi \\2x = - \left( {\pi - x} \right) + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \pi + m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm đều thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm \( \in \left[ { - 2018;\;2018} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2018 \le \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2018\\ - 2018 \le - \pi + m2\pi \le 2018\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 964,024 \le k \le 963,024\\ - 320,67 \le m \le 321,67\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccccc}k & \in \left\{ { - 964; - 963;....;0;1;...;963} \right\}\\m \in \left\{ { - 320;...;0;...321} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả: \(\left( {963 + 964 + 1} \right) + \left( {321 + 320 + 1} \right) = 2570\) nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.