Biện luân theo m số nghiệm của phương trình: \(\left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = 3m + 1\)

Câu hỏi số 292544:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292544

Phương pháp giải

Xét khoảng của x để phá dấu trị tuyệt đối .

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Giải chi tiết

\(\left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = 3m + 1\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right| = 3m + 1 \ge 0 \Rightarrow m \ge \dfrac{{ - 1}}{3}\)

- Với \(m < \dfrac{{ - 1}}{3}\) phương trình vô nghiệm

- Với \(m \ge \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 3m + 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 3x + 2 = - 3m - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 3m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 3m + 1 = 0\) có \(\Delta = 9 - 4\left( {1 - 3m} \right) = 5 + 12m\)

Với \(m \ge \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \Delta = 5 + 12m > 0\): phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt {5 + 12m} }}{2}\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow - {x^2} + 3x - 2 = 3m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 3 + 3m = 0\)

Phương trình \({x^2} - 3x + 3 + 3m = 0\) có \(\Delta = 9 - 4\left( {3 + 3m} \right) = - 3 - 12m\)

+) \( - 3 - 12m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình (1) vô nghiệm

+)\( - 3 - 12m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{3}{2}\)

+)\( - 3 - 12m > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{3} \le m < \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt { - 3 - 12m} }}{2}\)

Xét trường hợp \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt { - 3 - 12m} }}{2} = \dfrac{{3 \pm \sqrt {5 + 12m} }}{2} \Rightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{3}\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm

Kết hợp (1) và (2) ta có :

Khi \(m > \dfrac{{ - 1}}{4}\)hoặc \(m = \dfrac{{ - 1}}{3}\) thì PT(*) có 2 nghiệm.

Khi \(m = \dfrac{{ - 1}}{4}\) thì PT(*) có 3 nghiệm.

Khi \(\dfrac{{ - 1}}{3} < m < \dfrac{{ - 1}}{4}\) thì PT(*) có 4 nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link