Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá

Câu hỏi số 293239:

Vận dụng

Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = x + y\).

A. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{3}\).

B. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\).

C. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{9}\).

D. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{9}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293239

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và đánh giá giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Với x, y là các số thực dương, ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) + 1 = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + 3xy + x\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3\left( {1 - y} \right)} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + 3xy + x\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}x + x,\,\,\left( {x > 0} \right)\,\,\)ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + 1 > 0,\,\forall x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó, phương trình (1) \( \Leftrightarrow f\left( {3 - 3y} \right) = f\left( {x + 3xy} \right) \Leftrightarrow 3 - 3y = x + 3xy \Leftrightarrow 3xy + 3y + x = 3\)

\( \Leftrightarrow 3y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 4 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\,\,(2)\)

Ta có: \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) \le {\left( {\frac{{x + 1 + y + \frac{1}{3}}}{2}} \right)^2}\, \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le {\left( {\frac{{P + \frac{4}{3}}}{2}} \right)^2}\, \Leftrightarrow \frac{{P + \frac{4}{3}}}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow P + \frac{4}{3} \ge \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow P \ge \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + \frac{1}{3}\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\\y = \frac{{2\sqrt 3 - 1}}{3}\end{array} \right.\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.