Phương trình \(4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin \left( {2017\pi - 3x} \right) = 1 + 3\cos \left( {2018\pi - x}

Câu hỏi số 293267:

Vận dụng

Phương trình \(4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin \left( {2017\pi - 3x} \right) = 1 + 3\cos \left( {2018\pi - x} \right)\) có nghiệm dương bé nhất là a, nghiệm âm lớn nhất là b. Tính \(\frac{a}{b}\)?

A. \( - \frac{2}{3}\)

B. \( - 1\)

C. \( - \frac{3}{2}\)

D. \( - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293267

Phương pháp giải

+) Sử dụng các công thức biến đổi: \(\sin \left( {2017\pi - 3x} \right) = \sin \left( {2016x + \pi - 3x} \right) = \sin 3x\) và \(\cos \left( {2018\pi - x} \right) = \cos x.\)

+) Dùng công thức \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin \left( {2017\pi - 3x} \right) = 1 + 3\cos \left( {2018\pi - x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin 3x = 1 + 3\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 3x - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x = - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{k2\pi }}{3} > 0\\ - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > 0 \Rightarrow {x_{1\;\min }} = \frac{{2\pi }}{3}\\m > \frac{1}{3} \Rightarrow {x_{2\;\min }} = \frac{{4\pi }}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\min }} = \frac{{4\pi }}{9}\;\;khi\;\;m = 1.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm dương bé nhất là: \(a = \frac{{4\pi }}{9}.\)

Phương trình có nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{k2\pi }}{3} < 0\\ - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < 0 \Rightarrow {x_{1\;\max }} = - \frac{{2\pi }}{3}\\m < \frac{1}{3} \Rightarrow {x_{2\;\min }} = - \frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} = - \frac{{2\pi }}{3}\;\;khi\;\;k = - 1.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm dương bé nhất là: \(b = - \frac{{2\pi }}{3}.\)

Vậy: \(\frac{a}{b} = \frac{{\frac{{4\pi }}{9}}}{{\frac{{ - 2\pi }}{3}}} = - \frac{2}{3}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.