Cho phương trình \(\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0,\) \(m\) là tham số. Số các giá trị nguyên của

Câu hỏi số 296043:

Vận dụng

Cho phương trình \(\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0,\) \(m\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là :

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296043

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sin x - 2m\cos x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - m} \right) - \left( {\sin x - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - m} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \,x = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

*) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), có \(x \in \left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \dfrac{{7\pi }}{4} \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \,\,3\pi \Leftrightarrow \dfrac{{17}}{{24}} \le k \le \,\dfrac{4}{3}\,\,\, \Rightarrow k = 1\,\, \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{3}\)

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), có \(x \in \left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \dfrac{{7\pi }}{4} \le - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \,\,3\pi \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{24}} \le k \le \,\dfrac{5}{3}\,\,\, \Rightarrow k \in \emptyset \)

\( \Rightarrow \)Phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất trên đoạn \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là \(x = \dfrac{{7\pi }}{3}\)

*) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \)Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm khác \(\dfrac{{7\pi }}{3}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\).

Từ đồ thị hàm số \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le m < 0\\m = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\m = 1\end{array} \right.\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow m = 1\)

Vậy, có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn là \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.