Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} +

Câu hỏi số 296054:

Thông hiểu

Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).

A. \(n = 2017\).

B. \(n = 2019\).

C. \(n = 2018\).

D. \(n = 2016\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296054

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\).

Giải chi tiết

Số hạng tổng quát:

\(\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}C_n^k = \dfrac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}C_n^k = \dfrac{1}{{k + 2}}\dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{n + 1}}\dfrac{1}{{k + 2}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}C_{n + 2}^{k + 2}\)

Như vậy \(S = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + C_{n + 2}^4 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}} \right)\)

\(S = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {{2^{n + 2}} - C_{n + 2}^0 - C_{n + 2}^1} \right) = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {{2^{n + 2}} - n - 3} \right)\)

Phương trình đã cho tương đương \(\dfrac{{{2^{n + 2}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Leftrightarrow n + 2 = 2018 \Leftrightarrow n = 2016\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.