Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3

Câu hỏi số 298357:

Vận dụng

Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.

A. 36

B. 42

C. 35

D. 28

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298357

Phương pháp giải

+) Xác định số tam giác và số hình chữ nhật.

+) Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn.

Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có n đỉnh.

$\Rightarrow$ Số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là n đường. Chọn 2 trong n đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật, ta có $C_n^2$ hình chữ nhật được tạo thành.

+) Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là $C_{2n}^3$ tam giác.

Giải chi tiết

Điều kiện: $n \ge 2,\;n \in N.$

Theo như cách dựng được nêu trong phần phương pháp ta có số hình chữ nhật được tạo thành là $C_n^2$ hình; số tam giác được tạo thành từ $2n$ đỉnh của đa giác là $C_{2n}^3$ tam giác.

Từ giả thiết ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)\left( {2n - 3} \right)!}}{{6\left( {2n - 3} \right)!}} = \frac{{20n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{n(2n - 1)(2n - 2)}}{3} = 10n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4{n^2} - 6n + 2 = 30n - 30\\ \Leftrightarrow 4{n^2} - 36n + 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\;\;\left( {tm} \right)\\n = 1\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy có $C_8^2 = 28$ hình chữ nhật.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.