Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3

Câu hỏi số 298357:

Vận dụng

Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.

A. 36

B. 42

C. 35

D. 28

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:298357

Phương pháp giải

+) Xác định số tam giác và số hình chữ nhật.

+) Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn.

Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có n đỉnh.

\( \Rightarrow \) Số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là n đường. Chọn 2 trong n đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật, ta có \(C_n^2\) hình chữ nhật được tạo thành.

+) Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là \(C_{2n}^3\) tam giác.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n \ge 2,\;n \in N.\)

Theo như cách dựng được nêu trong phần phương pháp ta có số hình chữ nhật được tạo thành là \(C_n^2\) hình; số tam giác được tạo thành từ \(2n\) đỉnh của đa giác là \(C_{2n}^3\) tam giác.

Từ giả thiết ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)\left( {2n - 3} \right)!}}{{6\left( {2n - 3} \right)!}} = \frac{{20n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{n(2n - 1)(2n - 2)}}{3} = 10n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4{n^2} - 6n + 2 = 30n - 30\\ \Leftrightarrow 4{n^2} - 36n + 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\;\;\left( {tm} \right)\\n = 1\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có \(C_8^2 = 28\) hình chữ nhật.

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.