Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có

Câu hỏi số 298361:

Vận dụng cao

Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?

A. 310

B. 325

C. 320

D. 300

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298361

Phương pháp giải

Xét bộ 2 điểm hoặc 3 điểm để xác định các giao điểm của bộ 2 đường thẳng hoặc 3 đường thẳng.

Giải chi tiết

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E.

Có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng không đi qua A nên từ A kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng đó. Tương tự từ B kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng không đi qua B.

Đáng lẽ ra 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau tại \(6 \times 6 = 36\) điểm (Không kể A, B).

Nhưng vì có \(C_2^3 = 3\) đường thẳng không đi qua 2 điểm A B, nên 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ B đôi một song song với nhau nên số giao điểm của 2 nhóm đường thẳng vuông góc này chỉ còn \(36 - 3 = 33\) điểm.

Có \(C_5^2 = 10\) cách chọn các cặp điểm, như vậy nên có 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc.

Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như A, B, C, thì 3 đường cao của tam giác này trong số các đường vuông góc đó lại đồng quy tại 1 điểm (thay vì cắt nhau tại 3 điểm) nên số giao điểm giảm đi 2.

Vì có \(C_5^3 = 10\) tam giác như tam giác ABC nên số giao điểm giản đi 20.

Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông góc là \(330 - 20 = 310\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.