Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có

Câu hỏi số 298361:

Vận dụng cao

Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?

A. 310

B. 325

C. 320

D. 300

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298361

Phương pháp giải

Xét bộ 2 điểm hoặc 3 điểm để xác định các giao điểm của bộ 2 đường thẳng hoặc 3 đường thẳng.

Giải chi tiết

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E.

Có $C_4^2 = 6$ đường thẳng không đi qua A nên từ A kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng đó. Tương tự từ B kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng không đi qua B.

Đáng lẽ ra 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau tại $6 \times 6 = 36$ điểm (Không kể A, B).

Nhưng vì có $C_2^3 = 3$ đường thẳng không đi qua 2 điểm A B, nên 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ B đôi một song song với nhau nên số giao điểm của 2 nhóm đường thẳng vuông góc này chỉ còn $36 - 3 = 33$ điểm.

Có $C_5^2 = 10$ cách chọn các cặp điểm, như vậy nên có 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc.

Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như A, B, C, thì 3 đường cao của tam giác này trong số các đường vuông góc đó lại đồng quy tại 1 điểm (thay vì cắt nhau tại 3 điểm) nên số giao điểm giảm đi 2.

Vì có $C_5^3 = 10$ tam giác như tam giác ABC nên số giao điểm giản đi 20.

Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông góc là $330 - 20 = 310$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.