Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000

Câu hỏi số 299433:

Vận dụng

Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng: $S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}$

$S = \frac{{96}}{{199}}$

$S = \frac{{97}}{{199}}$

$S = \frac{{98}}{{199}}$

$S = \frac{{99}}{{199}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299433

Phương pháp giải

+) Gọi d là công sai của cấp số cộng trên, sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng ${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}\right].n}}{2}$ tìm d.

+) Viết công thức của SHTQ của CSC.

+) Tính $\frac{1}{{{u_k}{u_{k + 1}}}}$ , rút gọn sau đó tính S.

Giải chi tiết

Gọi d là công sai của cấp số cộng trên ta có:

${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{\left( {2 + 99d} \right).100}}{2} = 10000 \Rightarrow d = 2$ .

Khi đó ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1$ .

Xét ${u_k}{u_{k + 1}} = \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k - 1}} - \frac{1}{{2k + 1}}} \right)$ . Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{199}}} \right)\\\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{199}}} \right) = \frac{{99}}{{199}}\end{array}$ .

Vậy $S = \frac{{99}}{{199}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.