Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 300009:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\)

A. \({P_{\min }} = 7\)

B. \({P_{\min }} = 8\)

C. \({P_{\min }} = 9\)

D. \({P_{\min }} = 10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300009

Phương pháp giải

Dự đoán điểm rơi để khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết và tồn tai dấu bằng xảy ra.

Giải chi tiết

Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\)

Ta có x, y là các số dương nên \(\frac{9}{x}\) và \(\frac{{36}}{y}\) cũng là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(x\) và \(\frac{9}{x}\) ta được:

\(x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{9}{x}} = 6\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(y\) và \(\frac{{36}}{y}\) ta được:

\(y + \frac{{36}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{36}}{y}} = 12\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow x + \frac{9}{x} + y + \frac{{36}}{y} \ge 18 \Leftrightarrow P + 9\left( {\frac{1}{x} + \frac{4}{y}} \right) \ge 18 \Leftrightarrow P \ge 9\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\x = \frac{9}{x}\\y = \frac{{36}}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\{x^2} = 9\\{y^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0} \right)\)

Vậy \({P_{\min }} = 9\) đạt được khi \(x = 3;y = 6.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link