Tính các tổng sau: ${S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n$

Câu hỏi số 300598:

Vận dụng

2 n {.2}^{n - 1}

$2n{.2^{n - 1}}$

n {.2}^{n + 1}

$n{.2^{n + 1}}$

2 n {.2}^{n + 1}

$2n{.2^{n + 1}}$

n {.2}^{n - 1}

$n{.2^{n - 1}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300598

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán ta cần biến đổi công thức tổng quát của bài toán là $kC_n^k$

Từ đó tính tổng biểu thức.

Kiến thức cần nhớ $C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}}\\\;\;\;\;\;\; = n\frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} = nC_{n - 1}^{k - 1},\;\;\forall k \ge 1\end{array}$

Với $k = 1;\;2;\;3;...;\;n$ ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ..... + nC_n^n\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}} = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {1 + 1} \right)^{n - 1}}.n = n{.2^{n - 1}}.\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.