Tính các tổng sau: \({S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n +

Câu hỏi số 300597:

Vận dụng

Tính các tổng sau: \({S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\)

A. \(\frac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{n + 1}}\)

B. \(\frac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{n + 1}}\)

C. \(\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} + 1\)

D. \(\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 1\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:300597

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán ta cần xây dựng công thức tổng quát của bài toán là \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {{\rm{(}}n + 1) - (k + 1)} \right]!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

Theo đề bài \(k = 0;\;1;\;2....;\;n\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ..... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^k} - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1 + ...... + C_{n + 1}^n + C_{n + 1}^{n + 1} - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^{2n + 1}} - 1} \right] = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.