Tính các tổng sau: \({S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n +

Câu hỏi số 300597:

Vận dụng

Tính các tổng sau: ${S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n$

\frac{2^{n + 1} + 1}{n + 1}

$\frac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{n + 1}}$

\frac{2^{n + 1} + 1}{n + 1}

$\frac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{n + 1}}$

\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} + 1

$\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} + 1$

\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} - 1

$\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 1$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300597

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán ta cần xây dựng công thức tổng quát của bài toán là $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k$

Giải chi tiết

Ta có:

$\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {{\rm{(}}n + 1) - (k + 1)} \right]!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$

Theo đề bài $k = 0;\;1;\;2....;\;n$ ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ..... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^k} - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1 + ...... + C_{n + 1}^n + C_{n + 1}^{n + 1} - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^{2n + 1}} - 1} \right] = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}.\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.