Tính các tổng sau: ${S_3} = 2.1.C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n$ .

Câu hỏi số 300599:

Vận dụng

n (n - 1) 2^{n - 2}

$n(n - 1){2^{n - 2}}$

n (n + 2) 2^{n - 2}

$n(n + 2){2^{n - 2}}$

n (n - 1) 2^{n - 3}

$n(n - 1){2^{n - 3}}$

n (n - 1) 2^{n + 2}

$n(n - 1){2^{n + 2}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300599

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán ta cần biến đổi công thức tổng quát của bài toán là $k(k - 1)C_n^k$

Từ đó tính tổng biểu thức.

Kiến thức cần nhớ $C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$

Giải chi tiết

Ta có :

$\begin{array}{l}k(k - 1)C_n^k = k(k - 1)\frac{{n!}}{{(k)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 2)!(n - k)!}}\\ = \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{(k - 2)!\left[ {\left( {n - 2} \right) - \left( {k - 2} \right)} \right]!}} = n(n - 1)C_{n - 2}^{k - 2}\\ \Rightarrow {S_3} = 2.1.C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + .... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n\\ = n(n - 1)\sum\limits_{k = 2}^n {C_{n - 2}^{k - 2}} = n(n - 1)\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 2}} \right)\\ = n\left( {n - 1} \right){\left( {1 + 1} \right)^{n - 2}} = n(n - 1){2^{n - 2}}.\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.