Tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n +

Câu hỏi số 300602:

Vận dụng

Tính tổng $S = C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$

S = \frac{3^{n + 1} - 2^{n + 1}}{n + 1}

$S = \frac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$

S = \frac{3^{n} - 2^{n + 1}}{n + 1}

$S = \frac{{{3^n} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$

S = \frac{3^{n + 1} - 2^{n}}{n + 1}

$S = \frac{{{3^{n + 1}} - {2^n}}}{{n + 1}}$

S = \frac{3^{n + 1} + 2^{n + 1}}{n + 1}

$S = \frac{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300602

Phương pháp giải

Để tính tổng $S = C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$ ta tách thành hiệu ${S_1}$ và ${S_2}$ với ${S_1} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;\;\;{S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}} .$

Biến đổi $C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}$ và $\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}$ về công thức tổng quát.

Chú ý: $C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$

Giải chi tiết

Ta có: $S = \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + .... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n - \left( {\frac{1}{1}C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + ..... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n} \right) = {S_1} - {S_2}$

Trong đó:

$\begin{array}{l}{S_1} = \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;{\rm{ }}\\{S_2} = 1C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}} \end{array}$

Mà

$\begin{array}{l}\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}C_n^k = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{(n - k)!k!}} = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{(n + 1)(k + 1)!}}\frac{{(n + 1)!}}{{\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}} = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{{n + 1}}{2^{k + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} {2^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{(1 + 2)}^{n + 1}} - 1} \right] = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[(}}n + 1) - (k + 1))!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\end{array}$

Theo đề bài $k = 0;\;1;\;2....;\;n$ ta có:

$\Rightarrow {S_2} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^k} - C_{n + 1}^0} \right) = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$

Suy ra: $S = \frac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.