Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n =

Câu hỏi số 300604:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n = 1600\).

A. \(n = 5\)

B. \(n = 7\)

C. \(n = 10\)

D. \(n = 8\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300604

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

\(\begin{array}{l}2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = \left( {3.0 + 2} \right)C_n^0 + \left( {3.1 + 2} \right)C_n^1 + \left( {3.2 + 2} \right)C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = 2\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) + 3\left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right)\end{array}\)

Ta tách thành 2 tổng \({S_1} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\) và \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n.\)

Từ đó tìm n.

Giải chi tiết

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

Ta có : \({S_1} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}\).

Đặt \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\)

Dựa vào câu 11 ta tính được: \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT = 2{S_1} + 3{S_2} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + 3n{.2^{n - 1}} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + \frac{{3n}}{2}{.2^n} = 1600\\ \Leftrightarrow \left( {3n + 4} \right){.2^n} = 3200\end{array}\)

Vì n là số tự nhiên nên ta thử các đáp án vào biểu thức ta được đáp án đúng là \(n = 7.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.