Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn \(2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n =

Câu hỏi số 300604:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n = 1600$ .

n = 5

$n = 5$

n = 7

$n = 7$

n = 10

$n = 10$

n = 8

$n = 8$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300604

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

$\begin{array}{l}2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = \left( {3.0 + 2} \right)C_n^0 + \left( {3.1 + 2} \right)C_n^1 + \left( {3.2 + 2} \right)C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = 2\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) + 3\left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right)\end{array}$

Ta tách thành 2 tổng ${S_1} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n$ và ${S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n.$

Từ đó tìm n.

Giải chi tiết

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

Ta có : ${S_1} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}$ .

Đặt ${S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n$

Dựa vào câu 11 ta tính được: ${S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow VT = 2{S_1} + 3{S_2} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + 3n{.2^{n - 1}} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + \frac{{3n}}{2}{.2^n} = 1600\\ \Leftrightarrow \left( {3n + 4} \right){.2^n} = 3200\end{array}$

Vì n là số tự nhiên nên ta thử các đáp án vào biểu thức ta được đáp án đúng là $n = 7.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.