Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840\).Tổng tất cả

Câu hỏi số 300605:

Vận dụng

Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840\).Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển \({(1 + x - {x^2} + {x^3})^n}\) là

A. \({4^{10}}\)

B. \({4^9}\)

C. \({2^{10}}\)

D. \({2^9}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300605

Phương pháp giải

Nhận xét công thức tổng quát \((k + 3)C_n^k = kC_n^k + 3C_n^k\)

Ta tách thành 2 tổng \({S_1} = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \) và \({S_2} = 3\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840\\ \Leftrightarrow \left( {0 + 3} \right)C_n^0 + \left( {1 + 3} \right)C_n^1 + \left( {2 + 3} \right)C_n^2 + ... + \left( {n + 3} \right)C_n^n = 3840\\ \Leftrightarrow \left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right) + 3\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) = 3840\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = C_n^0 + C_n^1 + .... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}.\\{S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\end{array} \right.\)

Ta có: công thức tổng quát :

\(\begin{array}{l}kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}}\\ = n\frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} = nC_{n - 1}^{k - 1};\forall k \ge 1\end{array}\)

Với \(k = 1,2,...n\) ta được:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}} = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right) = n{.2^{n - 1}}\\ \Rightarrow VT = 3{S_1} + {S_2} = 3840\\ \Leftrightarrow {3.2^n} + n{.2^{n - 1}} = 3840\\ \Leftrightarrow {6.2^n} + n{.2^n} = 7680\\ \Leftrightarrow {2^n}\left( {n + 6} \right) = 7680\\ \Leftrightarrow n = 9.\end{array}\)

Cho \(x = 1 \Rightarrow {(1 + x - {x^2} + {x^3})^9} = {\left( {1 + 1 - {1^2} + {1^3}} \right)^9} = {2^9}\)

Chú ý khi giải

Bài toán trên ta không quan tâm đến việc phân tích khai triển vì làm như vậy bài toán sẽ rất khó khăn và phức tạp mà chọn với \(x = 1\) để tính tổng hệ số của khai triền.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.