Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( {1;m} \right)\). Gọi S là tập

Câu hỏi số 300927:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( {1;m} \right)\). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C). Số phần tử của S là:

A. 9

B. 7

C. 3

D. 5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300927

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1\,\,\,\left( d \right)\).

Ta có \(A\left( {1;m} \right) \in d\) nên \(m = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1\)

\( \Leftrightarrow m = 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 - 6x_0^2 + x_0^3 + 3x_0^2 + 1 \Leftrightarrow m = - 2x_0^3 + 6{x_0} + 1\) (*)

Để từ A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì phương trình (*) cần có 3 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 6x + 1\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục Oy.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 6x + 1\) ta có : \(f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow - 5 < m < 3 \Rightarrow S = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\). Vậy S có 7 phần tử.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.