Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m\) có

Câu hỏi số 305183:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m\) có ba điểm cực trị \(A,B,C\) sao cho \(O,A,B,C\) là các đỉnh của một hình thoi (với \(O\) là gốc tọa độ).

A. \(m = 1\)

B. \(m = - 1\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305183

Phương pháp giải

Tính \(y'\)

Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi: tứ giác có hai đường chéo giao giao tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi (hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi) để tìm điều kiện của \(m.\)

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\).

Chú ý rằng hàm trùng phương bậc bốn luôn có một cực trị nằm trên trục tung.

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số có ba cực trị thì \(m \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m\\x = m \Rightarrow y = - {m^4} + 2m\\x = - m \Rightarrow y = - {m^4} + 2m\end{array} \right.\)

Ta có các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2m} \right);B\left( {m; - {m^4} + 2m} \right);C\left( { - m; - {m^4} + 2m} \right)\)

Để \(OBAC\) là hình thoi thì \(OBAC\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Nhận thấy rằng \(O\left( {0;0} \right) \in Oy;\,A\left( {0;2m} \right) \in Oy;\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 2m;0} \right) \Rightarrow BC//Ox \Rightarrow BC \bot Oy \Rightarrow BC \bot OA\)

Để \(OBAC\) là hình thoi thì ta cần có \(OBAC\) là hình bình hành hay \(OA\) và \(BC\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nghĩa là ta cho trung điểm của \(OA\) và \(BC\) trùng nhau.

Ta có trung điểm của \(OA\) là \(I\left( {0;m} \right)\) ; trung điểm của \(BC\) là \(K\left( {0; - {m^4} + 2m} \right)\)

Khi đó \(I \equiv K \Rightarrow - {m^4} + 2m = m \Leftrightarrow {m^4} - m = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.