Cho hai đa thức \(\begin{array}{l}P\left( x \right) = 1 + 3{x^4} + 2{x^2} + {x^4} + {x^3} + 5{x^2} +

Câu hỏi số 305872:

Vận dụng

Cho hai đa thức

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = 1 + 3{x^4} + 2{x^2} + {x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 3{x^3};\,\,\,\,\,\\Q\left( x \right) = - 4{x^4} - 2{x^2} - 4{x^3} + 2x - 4{x^2} - x - \frac{1}{4}\end{array}\)

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(P\left( x \right) + Q\left( x \right);\,P\left( x \right) - Q\left( x \right).\)

c) Chứng tỏ \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) không có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305872

Phương pháp giải

a) Thu gọn đa thức. Để thu gọn đa thức cộng trừ các hạng tử đồng dạng, rồi sắp xếp các hạng tử đồng dạng theo sự giảm dần của biến.

b) Để Cộng, trừ hai đa thức, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng.
Bước 2: Viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại.
Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Chú ý: Nếu là phép cộng ta thực hiện bước 1 và bước 3, bỏ qua bước 2.

Nếu là phép trừ, ta thực hiện đầy đủ cả ba bước.

c) Giải phương trình: \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 0\)

Phương trình không có nghiệm suy ra không có nghiệm.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,P\left( x \right)\,\,\, = 1 + 3{x^4} + 2{x^2} + {x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 3{x^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} + 5{x^2}} \right) + 1\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,4{x^4} + 4{x^3} + 7{x^2} + 1\,\,\,\,\\Q\left( x \right) = - 4{x^4} - 2{x^2} - 4{x^3} + 2x - 4{x^2} - x - \frac{1}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 4{x^4} - 4{x^3} + \left( { - 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {2x - x} \right) - \frac{1}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 4{x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} + x - \frac{1}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,P\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,4{x^4} + 4{x^3} + 7{x^2} + 1\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,Q\left( x \right) = \, - 4{x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} + x - \frac{1}{4}\\P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {4{x^4} - 4{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + x - \frac{1}{4} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{x^2} + x + \frac{3}{4}\\P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {4{x^4} - \left( { - 4{x^4}} \right)} \right) + \left( {4{x^3} - \left( { - 4{x^3}} \right)} \right) + \left( {7{x^2} - \left( { - 6{x^2}} \right)} \right) - x + \frac{1}{4} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{x^4} + 8{x^3} + 13{x^2} - x + \frac{5}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,{x^2} + x + \frac{3}{4} = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{2}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\forall x\end{array}\)

Vậy \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) luôn không có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link