Cho ba số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 2\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{y +

Câu hỏi số 306655:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 2\). Chứng minh rằng:

\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306655

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski để chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \(\frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski với bộ ba số \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right);\left( {\frac{A}{{\sqrt a }},\frac{B}{{\sqrt b }},\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right).\left( {{{\left( {\frac{A}{{\sqrt a }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{B}{{\sqrt b }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)}^2}} \right) \ge {\left( {\sqrt a .\frac{A}{{\sqrt a }} + \sqrt b .\frac{B}{{\sqrt b }} + \sqrt c .\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)^2} = {\left( {A + B + C} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y + z} \right) + \left( {z + x} \right) + \left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} = 1\)

Vậy ta có điều cần chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link