Cho ba số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 2\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{y +

Câu hỏi số 306655:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 2\). Chứng minh rằng:

\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306655

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski để chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \(\frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski với bộ ba số \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right);\left( {\frac{A}{{\sqrt a }},\frac{B}{{\sqrt b }},\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right).\left( {{{\left( {\frac{A}{{\sqrt a }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{B}{{\sqrt b }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)}^2}} \right) \ge {\left( {\sqrt a .\frac{A}{{\sqrt a }} + \sqrt b .\frac{B}{{\sqrt b }} + \sqrt c .\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)^2} = {\left( {A + B + C} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y + z} \right) + \left( {z + x} \right) + \left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} = 1\)

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link