Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vuông góc với nhau, có cùng

Câu hỏi số 307789:

Vận dụng cao

Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vuông góc với nhau, có cùng vị trí cân bằng O. Phương trình dao động của M và N lần lượt là x_M = Acos(ωt + φ₁) , \({{y}_{N}}=A\sqrt{3}\text{cos(}\omega \text{t+}{{\varphi }_{2}})\) . Tại thời điểm t₁ vật M có li độ 1cm. Tại thời điểm \({{t}_{2}}={{t}_{1}}+\frac{\pi }{2\omega }\) vật N có li độ 2cm, Biết tại mọi thời điểm ta luôn có mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của hai vật là x_mv_M + y_Nv_N = 0. Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t₁ có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 3,1cm

B. 1,2cm

C. 6,2cm

D. 2,5cm

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:307789

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức đạo hàm toán học, với x’ = v

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ \(d=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

Nếu hai thời điểm vật dao động vuông pha thì \({{\left( \frac{{{y}_{N\left( {{t}_{1}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{y}_{N\left( {{t}_{2}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}=1\)

Giải chi tiết

Từ biểu thức \({{x}_{M}}{{v}_{M}}+{{y}_{N}}{{v}_{N}}=0\). Đạo hàm 2 vế của biểu thức theo thời gian ta được

\(v_{M}^{2}+{{x}_{M}}{{a}_{M}}+v_{N}^{2}+{{y}_{N}}{{a}_{N}}=0\Leftrightarrow {{\omega }^{2}}\left( A_{M}^{2}-x_{M}^{2} \right)-{{\omega }^{2}}x_{M}^{2}+{{\omega }^{2}}\left( A_{N}^{2}-y_{N}^{2} \right)-{{\omega }^{2}}y_{N}^{2}=0\Leftrightarrow x_{M}^{2}+y_{N}^{2}=2{{A}^{2}}\)

Hệ thức này luôn đúng tại mọi thời điểm. Vì M,N dao động trên 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên khoảng cách MN luôn là \(d=\sqrt{x_{M}^{2}+y_{N}^{2}}=A\sqrt{2}\) = const.

Tại thời điểm t₁, \({{x}_{M\left( {{t}_{1}} \right)}}=1\Rightarrow {{y}_{N\left( {{t}_{1}} \right)}}=\sqrt{2{{A}^{2}}-1}\)

Nhận thấy t₂ = t₁ +T/4 nên t₁ và t₂ là hai thời điểm vuông pha nhau. Chính vì vậy ta luôn có hệ thức độc lập \({{\left( \frac{{{y}_{N\left( {{t}_{1}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{y}_{N\left( {{t}_{2}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{2{{A}^{2}}-1}}{A\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{A\sqrt{3}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow A=\sqrt{3}\)

Vậy khoảng cách giữa hai vật luôn là \(A\sqrt{2}=\sqrt{6}\approx 2,449cm\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.