Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và

Câu hỏi số 308366:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\). Kết quả \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \) bằng:

A. \(I = 8\)

B. \(I = 4\)

C. \(I = 2\)

D. \(I = \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308366

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = - x\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = - 1\\x = - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) , khi đó:

\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = - \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{f\left( { - t} \right)dt}}{{1 + {e^{ - t}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + \dfrac{1}{{{e^x}}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} \)

Do \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nên \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \)

\( \Rightarrow I + I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{\left( {{e^x} + 1} \right)f\left( x \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Rightarrow I = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.