Cho \(a,\,b,\,c\) dương và: \({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} = 3{a^4}{b^4}{c^4}.\) Chứng minh

Câu hỏi số 309611:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,b,\,c\) dương và: \({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} = 3{a^4}{b^4}{c^4}.\) Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:309611

Giải chi tiết

Ta sẽ áp dụng bất đẳng thức phụ sau là 1 biến thể của bất đẳng thức Cô-si :

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng vào bài toán ta có ngay :

\(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{a^3}b + 1}} + \frac{1}{{2{c^2}}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{{{a^3}b}}} \right) + \frac{1}{{8{c^2}}} = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{{{a^3}b}} + \frac{2}{{{c^2}}} + 1} \right)\)

Hơn nữa theo bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} \ge 4\sqrt[4]{{\frac{1}{{{a^{12}}{b^4}}}}} = 4\frac{1}{{{a^3}b}}\\\frac{1}{{{c^4}}} + 1 \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{c^4}}}} = \frac{2}{{{c^2}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} + 2} \right).\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + 2} \right)\\\frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + 2} \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có : \(VT \le \frac{1}{{16}}\left[ {2\left( {\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}}} \right) + 6} \right] = \frac{3}{4}.\)

(Do theo giả thiết ta dễ dàng suy ra : \(\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} = 3.\)).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} = 1\\\frac{1}{{{b^4}}} = 1\\\frac{1}{{{c^4}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1.\)

Vậy \(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link