Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 70cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích
Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 70cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\)
Diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\)
Miếng tôn hình tròn có diện tích: \(\pi {.70^2} = 4900\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là \(r,\;h\;\;\left( {r,\;h > 0} \right).\)
Khi đó ta có: \(SA = \sqrt {{r^2} + {h^2}} .\)
\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} .\)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\pi {r^2} + \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} = 4900\pi \Leftrightarrow r\sqrt {{r^2} + {h^2}} = 4900 - {r^2}\\ \Leftrightarrow {r^2}\left( {{r^2} + {h^2}} \right) = {4900^2} - 2.4900{r^2} + {r^4} \Leftrightarrow {r^2} = \frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}}\end{array}\)
Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}}.h = \frac{{{{4900}^2}\pi }}{3}.\frac{h}{{{h^2} + 9800}}\)
\( \Rightarrow V\) đạt Max \( \Leftrightarrow f'\left( h \right) = \frac{{{h^2} + 9800}}{h}\) đạt Min.
Ta có: \(f'\left( h \right) = \frac{{2{h^2} - {h^2} - 9800}}{{{h^2}}} = \frac{{{h^2} - 9800}}{{{h^2}}}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} = 9800 \Leftrightarrow h = 70\sqrt 2 \;cm.\\ \Rightarrow {r^2} = \frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}} = \frac{{{{4900}^2}}}{{9800.2}} = 1225\;cm\\ \Rightarrow r = \sqrt {1225} = 35\;cm.\end{array}\)
Vậy, hình nón có bán kính đáy là: \(35cm\).
Chọn: D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
