Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi

Câu hỏi số 311297:

Vận dụng cao

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là \(12\,{\rm{cm}}\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là

A. \(32\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

B. \(64\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

C. \(8\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

D. \(16\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311297

Phương pháp giải

+ Sử dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật = (chiều dài+chiều rộng).2

+ Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

Chú ý dấu = xảy ra khi \(a = b = c.\)

(Hoặc sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.)

Giải chi tiết

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r\) và \(h\left( {r,h > 0} \right)\)

Thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi \(2\left( {AB + BC} \right) = 2.\left( {h + 2r} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 - 2r\,\,\left( {r < 3} \right)\)

Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 - 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 - 2r} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(r;r;6 - 2r\) ta được

\(r + r + 6 - 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8\pi \)

Hay \(V \le 8\pi \) . Dấu = xảy ra khi \(r = 6 - 2r \Leftrightarrow r = 2\left( {TM} \right)\)

Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là \(V = 8\pi .\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.