Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Hai điểm \(M,N\) thuộc các cạnh \(AB\) và

Câu hỏi số 311871:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Hai điểm \(M,N\) thuộc các cạnh \(AB\) và \(AD\) (M, N không trùng với A, B, D). sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + 2.\dfrac{{AD}}{{AN}} = 4\). Kí hiệu \(V,\,{V_1}\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S.ABCD\) và \(S.MBCDN\). Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).

A. \(\dfrac{2}{3}\).

B. \(\dfrac{3}{4}\)

C. \(\dfrac{1}{6}\).

D. \(\dfrac{{14}}{{17}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311871

Phương pháp giải

Tỉ lệ thể tích của các khối chóp \(S.ABCD\) và \(S.MBCDN\) bằng tỉ lệ diện tích các đa giác \(ABCD\) và \(MBCDN\).

Giải chi tiết

Do các khối chóp \(S.ABCD\) và \(S.MBCDN\) có cùng chiều cao kẻ từ S nên \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}}\)

Ta có: \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + 2.\dfrac{{AD}}{{AN}} = 4\). Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

\(\dfrac{{AB}}{{AM}} + 2.\dfrac{{AD}}{{AN}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{AB}}{{AM}}.2.\dfrac{{AD}}{{AN}}} = 2\sqrt 2 .\sqrt {\dfrac{{AB.AD}}{{AM.AN}}} \)(với \(\dfrac{{AB}}{{AM}} > 1,\,\,\dfrac{{AD}}{{AN}} > 1\))

\( \Rightarrow 2\sqrt 2 .\sqrt {\dfrac{{AB.AD}}{{AM.AN}}} \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{{AB.AD}}{{AM.AN}} \le 2\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} \le 2 \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABCD}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} \le 4\) (do \({S_{\Delta ABD}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABCD}}\))\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABCD}}}} \ge \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}} \le \dfrac{3}{4} \Rightarrow \)\(\dfrac{{{V_1}}}{V} \le \dfrac{3}{4}\)

Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{4}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{AM}} + 2.\dfrac{{AD}}{{AN}} = 4\\\dfrac{{AB}}{{AM}} = 2.\dfrac{{AD}}{{AN}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{AM}} = 2\\\dfrac{{AD}}{{AN}} = 1\end{array} \right.\)

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.