Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x\) có cực trị

Câu hỏi số 315441:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x\) có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.

\(m \in \left( {\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3}; - 1} \right) \cup \left( {2;\dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

\(m \in \left( {\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3};\dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

\(m \in \left( { - 1;2} \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315441

Giải chi tiết

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + (m + 2)\)

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\)

Khi đó, do \(a = \dfrac{1}{3} > 0\) nên hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x\) có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương \( \Leftrightarrow \)Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất là \(x = 0\) (1) và hai cực trị \({x_1},{x_2}\)\(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn: \(0 < {x_1} < {x_2}\) (2)

Ta có: (1) \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{1}{3}{x^2} - mx + (m + 2) = 0\) hoặc là vô nghiệm hoặc là có nghiệm kép \(x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\dfrac{1}{3}.0 - m.0 + m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - \dfrac{4}{3}m - \dfrac{8}{3} < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - \dfrac{4}{3}m - \dfrac{8}{3} = 0\\\dfrac{1}{3}.0 - m.0 + m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3} < m < \dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{2 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3} < m < \dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m \in \left( {\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3}; - 1} \right) \cup \left( {2;\dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.