Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 315540:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 2 = 0\). Tìm điểm \(M \in \Delta \) sao cho \(2A{M^2} + M{B^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\)

B. \(M\left( {\frac{{26}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)

C. \(M\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{{28}}{{15}}} \right)\)

D. \(M\left( {\frac{{29}}{{15}}; - \frac{{28}}{{15}}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315540

Phương pháp giải

Tìm điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) từ đó suy ra \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta \) từ đó tìm M

Giải chi tiết

Gọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right).\)

Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

\(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta \)

\(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\)

Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) d nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d là: \(2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\)

M là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{{15}}\\y = - \frac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right).\)

Vậy \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.