Cho số phức z có \(\left| z \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} -

Câu hỏi số 316488:

Vận dụng

Cho số phức z có \(\left| z \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\) .

A. \(\dfrac{{13}}{4}\)

B. \(3\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{11}}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316488

Phương pháp giải

+) Đặt \(z = a + bi\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\).

+) Biểu diễn \(P = f\left( a \right)\), sử dụng MTCT tìm \(GTLN\) của \(P\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\). Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} \ge 0 \Rightarrow - 1 \le a \le 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| z \right|\left| {z - 1} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| {z - 1} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| {a + bi - 1} \right| + \left| {{a^2} + 2abi - {b^2} + a + bi + 1} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2ab + b} \right)}^2}} \\P = \sqrt {{a^2} - 2a + 1 + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + a + 1} \right)}^2} + {b^2}{{\left( {2a + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {2 - 2a} + \sqrt {{{\left( {2{a^2} + a} \right)}^2} + \left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {2a + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {2 - 2a} + \sqrt {4{a^2} + 4a + 1} \\P = \sqrt {2 - 2a} + \left| {2a + 1} \right|\,\,\left( { - 1 \le a \le 1} \right)\end{array}\)

Sử dụng MTCT ta tìm được \({P_{\max }} = 3,25\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.