Cho hình vuông \({C_1}\) có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành
Cho hình vuông \({C_1}\) có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\)( tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông \({C_2}\) tiếp tục làm như vậy để được hình vuông \({C_3}\),... . Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n}...\)tương ứng là diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\). Tính tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \({S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) với \({u_1}\) là số hạng đầu tiên, \(q\) là công bội của cấp số nhân.
Xét dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) là độ dài cạnh của của dãy hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\) với \({a_1} = 4\)
Ta có \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4}{a_1}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{4}{a_1}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_1}\)
…
\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}\)
Vậy dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{4}\)
Ta có \({S_{n + 1}} = {\left( {{a_{n + 1}}} \right)^2} = {\left( {{a_n}.\dfrac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {\left( {{a_n}} \right)^2}.\dfrac{5}{8} = {S_n}.\dfrac{5}{8}\)
Suy ra dãy \(\left( {{S_n}} \right)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \dfrac{5}{8}\) và \({S_1} = 16\)
Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ... = \dfrac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \dfrac{{16}}{{1 - \dfrac{5}{8}}} = \dfrac{{128}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
