Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}}

Câu hỏi số 318520:

Vận dụng

Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} \) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318520

Phương pháp giải

Xác định hàm số \(f\left( x \right)\) và số điểm mà \(f'\left( x \right)\) đổi dấu.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}} = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \\ = \left. {\ln \left( {{t^2} + 1} \right)} \right|_{2x}^{{x^2}} = \ln \left( {{x^4} + 1} \right) - \ln \left( {4{x^2} + 1} \right)\\f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} - \dfrac{{8x}}{{4{x^2} + 1}} = \dfrac{{4{x^3}\left( {4{x^2} + 1} \right) - 8x\left( {{x^4} + 1} \right)}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{8{x^5} + 4{x^3} - 8x}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}} = \dfrac{{4x\left( {2{x^4} + {x^2} - 2} \right)}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}}\end{array}\)

Nhận xét:

Phương trình \(2{x^4} + {x^2} - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \pm \dfrac{{\sqrt { - 1 + \sqrt {17} } }}{2}\) và \(2{x^4} + {x^2} - 2\) đổi dấu tại 2 điểm này.

\(4x\) đổi dấu tại \(x = 0\)

\(\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) > 0,\,\forall x\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right)\) đổi dấu tại 3 điểm là \(x = \pm \dfrac{{\sqrt { - 1 + \sqrt {17} } }}{2}\) và \(x = 0\)

\( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} \) là 3.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.