Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số -8, -4, 5, -1, 2, -1, -2, -3, ...., -2005 thì các số được đánh dấu là Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

Câu hỏi số 32140:

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự $a_{1},a_{2},...,a_{2010},$ ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số -8, -4, 5, -1, 2, -1, -2, -3, ...., -2005 thì các số được đánh dấu là $a_{2}=-4,a_{3}=5,$ $a_{4}=-1,a_{5}=2$

Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

A. Click để xem lời giải

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:32140

Giải chi tiết

Nếu tất cả các số là số dương thì suy ra đpcm.

Xét trường hợp tồn tại i để $a_{i}$ được đánh dấu và $a_{i}$ < 0, chọn i là chỉ số nhỏ nhất như vậy.

Khi đó theo giả thiết tồn tại k để $a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+....+a_{i+k}$ > 0

Giả sử k là số nhỏ nhất để $a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+....+a_{i+k}$ > 0 (1)

(hiển nhiên k ≥ 1).

Như vậy:

$a_{i}$ < 0

$a_{i}+a_{i+1}$ ≤ 0

...........

$a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k-1}$ ≤ 0

Ta có $a_{i}+(a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k})$ > 0 => $a_{i+1}+...+a_{i+k}$ > 0

=> $a_{i+1}$ được đánh dấu.

$(a_{i}+a_{i+1})+(a_{i+2}+...+a_{i+k})$ > 0 => $a_{i+2}+...+a_{i+k}$ > 0

=> $a_{i+2}$ được đánh dấu.

..............

Cuối cùng $(a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k-1})+a_{i+k}$ > 0 => $a_{i+k}$ > 0

=> $a_{i+k}$ cũng được đánh dấu.

Suy ra tất cả các số $a_{i},a_{i+1},a_{i+2},...,a_{i+k}$ đều được đánh dấu.

Như vậy, trong các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{i+k}$ các số được đánh dấu có tổng lớn hơn 0.

Tiếp tục quá trình lập luận như trên cho các số còn lại $a_{i+k+1},....,a_{2010}$ . Sau một số hữu hạn bước ta được đpcm.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link